TORRES HANOI

¿COMO ES EL ALGORITMO PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE LAS TORRES HANOI?

El rompecabezas de la Torre de Hanoi fue inventado por el matemático francés Edouard Lucas en 1883. Se inspiró en una leyenda acerca de un templo hindú donde el rompecabezas fue presentado a los jóvenes sacerdotes. Al principio de los tiempos, a los sacerdotes se les dieron tres postes y una pila de 64 discos de oro, cada disco un poco más pequeño que el de debajo. Su misión era transferir los 64 discos de uno de los tres postes a otro, con dos limitaciones importantes. Sólo podían mover un disco a la vez, y nunca podían colocar un disco más grande encima de uno más pequeño. Los sacerdotes trabajaban muy eficientemente, día y noche, moviendo un disco cada segundo. Cuando terminaran su trabajo, dice la leyenda, el templo se desmenuzaría en polvo y el mundo se desvanecería.

Aunque la leyenda es interesante, usted no tiene que preocuparse de que el final del mundo ocurra pronto en cualquier momento. El número de movimientos necesarios para mover correctamente una torre de 64 discos es 264−1=18,446,744,073,709,551,615$2^{64}-1=18,446,744,073,709,551,615$. A una velocidad de un movimiento por segundo, ¡eso sería 584,942,417,355$584,942,417,355$ años! Claramente hay algo más en este rompecabezas de lo que parece.

La Figura 1 muestra un ejemplo de una configuración de discos en el proceso de movimiento del primer poste al tercero. Observe que, según especifican las reglas, los discos de cada poste se apilan de manera que los discos más pequeños estén siempre encima de los discos más grandes. Si usted no ha intentado resolver este rompecabezas antes, debe probarlo ahora. No necesita discos y postes elegantes, una pila de libros o trozos de papel servirán.

Figura 1: Una disposición ilustrativa de los discos para la Torre de Hanoi

¿Cómo vamos a resolver este problema recursivamente? ¿Cómo resolvería usted este problema en todo caso? ¿Cuál es nuestro caso base? Pensemos en este problema desde abajo hacia arriba. Supongamos que usted tiene una torre de cinco discos, originalmente en un poste. Si usted ya sabía cómo mover una torre de cuatro discos al poste dos, entonces podría mover fácilmente el disco inferior al poste tres, y luego mover la torre de cuatro discos desde el poste dos al poste tres. Pero ¿qué tal si usted no sabe cómo mover una torre de altura cuatro? Supongamos que usted sabía cómo mover una torre de altura tres al poste tres; entonces sería fácil mover el cuarto disco al poste dos y mover los tres discos del poste tres encima de aquél. Pero ¿qué tal si usted no sabe cómo mover una torre de tres discos? ¿Qué tal si usted mueve una torre de dos discos al poste dos y luego mueve el tercer disco al poste tres, y luego mueve la torre de altura dos encima de dicho disco? Pero ¿qué tal si todavía no sabe cómo hacer esto? Seguramente estaría de acuerdo en que mover un solo disco al poste tres es bastante fácil, trivial incluso podría decirse. Esto suena como un caso base.

El siguiente es un esquema de alto nivel de cómo mover una torre desde el poste de origen, hasta el poste destino, utilizando un poste intermedio:

1. Mover una torre de altura-1 a un poste intermedio, utilizando el poste destino.
2. Mover el disco restante al poste destino.
3. Mover la torre de altura-1 desde el poste intermedio hasta el poste destino usando el poste de origen.

Siempre y cuando obedezcamos la regla de que los discos más grandes deben permanecer en la parte inferior de la pila, podemos usar los tres pasos anteriores recursivamente, tratando cualquier disco más grande como si ni siquiera estuviera allí. Lo único que falta en el esquema anterior es la identificación de un caso base. El problema de la torre de Hanoi más simple es una torre de un disco. En ese caso, sólo necesitamos mover un solo disco a su destino final. Una torre de un disco será nuestro caso base. Además, los pasos descritos anteriormente nos mueven hacia el caso base reduciendo la altura de la torre en los pasos 1 y 3. El Programa 1 muestra el código en Python para resolver el rompecabezas de la Torre de Hanoi.

Programa 1

1 2 3 4 5

def moverTorre(altura,origen, destino, intermedio): if altura >= 1: moverTorre(altura-1,origen,intermedio,destino) moverDisco(origen,destino) moverTorre(altura-1,intermedio,destino,origen)

Note que el código en el Programa 1 es casi idéntico a la descripción en español. La clave de la simplicidad del algoritmo es que realizamos dos llamadas recursivas diferentes, una en la línea 3 y otra en la línea 5. En la línea 3 movemos todo menos el disco inferior de la torre de origen hacia un poste intermedio. La siguiente línea simplemente mueve el disco inferior a su lugar final. Luego, en la línea 5, movemos la torre desde el poste intermedio hasta la parte superior del disco más grande. El caso base se detecta cuando la altura de la torre es 0; en ese caso no habrá nada que hacer, por lo que la función moverTorre simplemente regresa el control. Lo importante a tener en cuenta al tratar el caso base de esta manera es que simplemente el regreso desde moverTorre es lo que finalmente permite que la función moverDisco sea invocada.

La función moverDisco, que se muestra en el Programa 2, es muy simple. Todo lo que hace es imprimir que se está moviendo un disco de un poste a otro. Si usted codifica y ejecuta el programa moverTorrepodrá ver que le da una solución muy eficiente al rompecabezas.

Note que el código en el Programa 1 es casi idéntico a la descripción en español. La clave de la simplicidad del algoritmo es que realizamos dos llamadas recursivas diferentes, una en la línea 3 y otra en la línea 5. En la línea 3 movemos todo menos el disco inferior de la torre de origen hacia un poste intermedio. La siguiente línea simplemente mueve el disco inferior a su lugar final. Luego, en la línea 5, movemos la torre desde el poste intermedio hasta la parte superior del disco más grande. El caso base se detecta cuando la altura de la torre es 0; en ese caso no habrá nada que hacer, por lo que la función moverTorre simplemente regresa el control. Lo importante a tener en cuenta al tratar el caso base de esta manera es que simplemente el regreso desde moverTorre es lo que finalmente permite que la función moverDisco sea invocada.

La función moverDisco, que se muestra en el Programa 2, es muy simple. Todo lo que hace es imprimir que se está moviendo un disco de un poste a otro. Si usted codifica y ejecuta el programa moverTorrepodrá ver que le da una solución muy eficiente al rompecabezas.

Programa 2

def moverDisco(desde,hacia):
    print("mover disco de",desde,"a",hacia)

¿LAS TORRES DE HANOI SON DE COMBINACION O DE PERMUTACION?

Las torres de hanoi, son de permutacion ya que se agrupan las difrentes combinaciones de disco que se puden hacer par resolver el problema de las torres de hanoi.

¿Como se representa una torre de hanoi?

Una torre

¿Que es una torre de Hanoi?
Un Rompecabezas

¿Porque Se compone una de hanoi?
Por discos y una torre

¿Cual es el pseudocodigo del problema de hanoi?

def moverTorre(altura,origen, destino, intermedio):
    if altura >= 1:
        moverTorre(altura-1,origen,intermedio,destino)
        moverDisco(origen,destino)
        moverTorre(altura-1,intermedio,destino,origen)

¿Poque matematico fue inventado la torre de hanoi?
Edouard Lucas

¿En que año?
1883
¿En que se inspiro?
Se inspiró en una leyenda acerca de un templo hindú donde el rompecabezas.
¿Para quienes fue presentado?
fue presentado a los jóvenes sacerdotes
¿En cuantas secciones fue dividida?
3
¿Como eran al principio los templos de los sacerdotes?

Al principio de los tiempos, a los sacerdotes se les dieron tres postes y una pila de 64 discos de oro, cada disco un poco más pequeño que el de debajo. Su misión era transferir los 64 discos de uno de los tres postes a otro, con dos limitaciones importantes. Sólo podían mover un disco a la vez, y nunca podían colocar un disco más grande encima de uno más pequeño.

CUESTIONARIO

1°-¿Qué son las Torres de Hanoi?

La Torres de Hanoi es un rompecabezas o juego matemático.

2°-¿Cuándo se inventaron las Torres de Hanoi?

Fue inventado en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas.

3°-¿En que consiste este juego?

Este juego de mesa individual consiste en un número de discos perforados de radio creciente que se apilan insertándose en uno de los tres postes fijados a un tablero. 

4°-¿Cuál es el objetivo del juego?

El objetivo del juego es trasladar la pila a otro de los postes siguiendo ciertas reglas. El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de algoritmos.

5°-¿Cual es la formula para el juego?

La fórmula para encontrar el número de movimientos necesarios para transferir n discos desde un poste a otro es: 2ⁿ - 1

6°-¿Cómo es el algoritmo para resolver el problema de las Torres de Hanoi?

La solución del problema de las Torres de Hanói es muy fácil de hallar, aunque el número de pasos para resolver el problema crece exponencialmente conforme aumenta el número de discos.Como ya se ha indicado, el número mínimo de movimientos necesarios para resolver un rompecabezas de la Torre de Hanoi es 2ⁿ - 1, donde n es la cantidad de discos.

Una manera sencilla para saber si es posible terminar el "juego" es que si la cantidad de discos es impar la pieza inicial ira a destino y si es par a auxiliar.

7°-¿Mediante que procesos se puede resolver el problema de las Torres de Hanoi?

-Solución Simple

-Mediante recursividad

-Iterativa

8°-¿En qué consiste "La solución Simple"?

El disco 2.^o n-1 se debe mover, por regla, a la varilla destino. Luego, el disco n.^o 1 se mueve también a la varilla destino para que quede sobre el disco n.^o 2. A continuación, se mueve el disco que sigue de la varilla origen, en este caso el disco n.^o 3, y se coloca en la varilla auxiliar. Finalmente, el disco n.^o 1 regresa de la varilla destino a la origen (sin pasar por la auxiliar), y así sucesivamente. Es decir, el truco está en el disco más pequeño.

9°-¿En qué consiste la solución "Mediante Recursividad"?

Si numeramos los discos desde 1 hasta n, si llamamos origen a la primera pila de discos, destino a la tercera y auxiliar a la intermedia, y si a la función la denomináramos hanoi, con origen, auxiliar y destino como parámetros, el algoritmo de la función sería el siguiente:

El número de movimientos mínimo a realizar para resolver el problema de este modo es de 2ⁿ – 1, siendo n el número de discos.

10°-¿En qué consiste la solución "Iterativa"?

Se basa en el hecho de que para obtener la solución más corta, es necesario mover el disco más pequeño en todos los pasos impares, mientras que en los pasos pares solo existe un movimiento posible que no lo incluye.

SERIE FIBONACCI

 ¿QUE ES UNA SERIE FIBONACCI?

La sucesión de Fibonacci, en ocasiones también conocida como secuencia de Fibonacci o incorrectamente como serie de Fibonacci, es en sí una sucesión matemática infinita. Consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números.

¿QUIEN CREO LA SERIE FIBONACCI?

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170 – 1250) es un famoso matemático italiano famoso por difundir en Europa el sistema de numeración actualmente utilizado, esto es un sistema de numeración posicional en base decimal y un dígito de valor nulo (cero), y por idear la sucesión de Fibonacci.

La sucesión de Fibonacci es una serie de números que se obtiene por adición de lo dos números anteriores, obteniéndose la serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc.

Y que tiene de especial esta serie? Bien, esta serie se hizo especialmente famosa por describir las proporciones naturales, supuestamente, de todas las cosas en el universo. Lo cierto es que hoy en día la aparición de esta serie ocurre de forma muy amplia y extensa en campos como las matemáticas, ciencias de la computación, biología o teoría de juegos.

Las famosas proporciones que describen la serie de Fibonacci se van obteniendo mediante cocientes entre números de la serie, por ejemplo, si se divide un número de la serie entre el siguiente se obtiene una proporción de 0.618 (inverso de la proporción áurea), por ejemplo, 21 entre 34. Si divides dos número alternos obtendrás 0.382, por ejemplo 55 entre 144.

No tendrás que calcularlas, es muy extraño que un software de trading no tenga las herramientas de cálculo de las proporciones de Fibonacci.

¿COMO ES LA SERIE FIBONASSI?

CUESTIONARIO

1°-¿Que es la serie de Fibonacci?

En matemáticas la sucesión o serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

       

2°-¿Cuando se creo la Serie de Fibonacci?

Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.

3°-¿En qué ámbitos se aplica dicha serie?

Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. 

4°-¿Cuál es la relación de la sucesión de Fibonacci?

La sucesión comienza con los números 0 y 1,​ y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

5°-¿Cuál es la regla de la sucesión de Fibonacci?

 Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así: xn = xn-1 + xn-2.

6°-¿Cuáles son los métodos para calcular los números de Fibonacci?

-Función generadora

-Formula explicita 

-Por la función

7°-¿En que consiste la "Función Generadora"?

Una función generadora para una sucesión cualquiera a0, a1, a2,… es la función f(X) = a0 + a1x + a2x2+…, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:

8°-¿En qué consiste la "Formula Explicita"?

Esta manera de calcular los números de Fibonacci utiliza la expresión del número áureo:

9°-¿Cómo se desarrolla el método"Por la Función"  para calcular los números de Fibonacci ?Partiendo de los números 0 y 1, los números de Fibonacci quedan definidos por la función

10°-¿Cómo es la serie de Fibonacci?

Básicamente, la sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números (Todos los números presentes en la sucesión se llaman números de Fibonacci) de la siguiente manera:
                                                       0,1,1,2,3,5,8,13,21,34...

TRIANGULOS DE PASCAL

TRIANGULO DE PASCAL

Triángulo de Pascal para n=10. En las matemáticas, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulo. Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.1​ Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos, persas, alemanes e italianos, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.2​

¿COMO SE CONSTRUYE EL TRIANGULO DE PASCAL?

Cada linea se construye a partir de la anterior.

Con excepción de los números 1, que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene por encima.

Propiedades del triángulo de pascal

Las aplicaciones del famoso triángulo ya las conocían los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas. Pero fue el filósofo y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) el primero en organizar muchas propiedades de manera conjunta, escribiendo el primer tratado sobre esta disposición numérica.

En Italia todos lo conocen como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano, unos de los principales matemáticos del siglo XVI y seguramente el primero en publicarlo en Europa.

Infinito y simétrico

No tiene fin y es simétrico respecto al eje vertical. Se puede leer igualmente empezado por la izquierda que por la derecha.

Potencias cuadradas

La suma de todos los valores de cualquier fila del triángulo, es igual a una potencia de 2. La primera fila se denomina fila cero.

Potencia de una suma

Observa con atención y verás cómo cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

Esta propiedad es muy utilizada en matemáticas. Es uno de los errores típicos de álgebra que cometen los estudiantes. Conociendo este triángulo numérico, es difícil que te equivoques.

APLICACIONES DE UN TRIANGULO DE PASCAL

Los números en el triángulo de Pascal ofrecen un atajo al expandir los binomios elevados a la n potencia. Los números en la línea n del Triángulo de Pascal enlistan los coeficientes de la expansión de (a + b)^n. Por ejemplo, la cuarta línea del triángulo de Pascal es "1 4 6 4 1"; la expansión del binomio (a + b)^4 es 1x^4 + 4x^3_y + 6x^2_y^2 + 4x*y^3 + 1y^4.

Combinaciones

El triángulo de Pascal también contiene un atajo para encontrar el valor de una combinación nCr, que es el número de subgrupos con r miembros de un grupo con n miembros. Las combinaciones son una operación básica en Combinatoria, la rama de la matemática que involucra contar grupos de elementos discretos. Por ejemplo, el número de manos posibles de cinco cartas de una baraja de 52 es 52C5. El quinto valor de la línea 52º da el valor de esta combinación: 259.860.

Probabilidad

El triángulo de Pascal es usado para calcular probabilidades con resultados binomiales, como la probabilidad de tener un niño o una niña. En una serie de n resultados binomiales, como tener n niños, el número de resultados en el que uno de los eventos de los binomios ocurra k veces, es igual a la entrada k-ésima entrada en la línea n del triángulo de Pascal. Por ejemplo, una familia que tiene cinco hijos tiene un total de 2^5 o 32 posibles combinaciones niño-niña. La quinta línea del triángulo de Pascal es "1 5 10 10 5 1". Estos valores indican el número de resultados con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 niñas, en ese orden.

Series de números

El triángulo de Pascal también es notable por contener varias series de números importantes como patrones en su forma. Las series de números triangulares 1, 3, 6, 10, 15 y así corresponde a las sumas de los enteros consecutivos: 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 y así. Los números triangulares se encuentran en la tercera columna del triángulo de Pascal. Colorear todos los números impares en el Triángulo con un número infinito de líneas crea el triángulo de Sierpinski, un patrón fractal famoso.

CUESTIONARIO

1°-¿Qué es el Triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico 

2°-¿Cómo empieza el Triángulo de Pascal?

Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima.

3°-¿Cómo se construye un Triángulo de Pascal? 

El triángulo de Pascal se construye siguiendo un patrón como el que se muestra en la figura de abajo. Se comienza desde la cúspide con el número «1» hacia abajo(infinito), a modo de "árbol"; se clasifica en filas, empezando por la fila cero(el «1» de la cúspide). 

4°-Explica la función que tienen los Nodos en dicho Triángulo.

Este "árbol" tiene nodos, que son cada número que compone el triángulo. Si sumamos dos nodos nos dará de resultado el nodo situado debajo de estos dos, y así sucesivamente. Las diagonales que empiezan desde el «1» situado en la cabeza del triángulo valen siempre 1.

5°-¿Cuáles son las aplicaciones para un Triángulo de Pascal?

Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios. Las potencias de binomios vienen dadas por la fórmula: {\displaystyle (a+b)^{n}} {\displaystyle (a+b)^{n}}, dónde a y b son variables cualesquiera y n el exponente que define la potencia. Esta expresión se denomina binomio de Newton. Esta fórmula del binomio de Newton desarrolla los coeficientes de cada fila en el triángulo de Pascal. 

Es por esto que existe una estrecha relación entre el triángulo de Pascal y los binomios de Newton. 

6°-Explica las Caras y Cruces en el Triángulo de Pascal.

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación. Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

7°-¿Porque se llama Triangulo de Pascal?

Es llamado así en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

8°-¿Cómo se puede generalizar el Triángulo de Pascal?

El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.

9°-¿Cuándo fue la primera representación del Triangulo de Pascal?

La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a.C

10°-¿Cuál es el uso de este Triángulo?

Este triángulo fue ideado para desarrollar las potencias de binomios. 

EJERCICIOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

https://es.scribd.com/document/401409374/Diagrama-de-Arbol

CUESTIONARIO

1°-¿Qué es un Diagrama de Árbol?

Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de planta.

2°-¿Para que se usa un Diagrama de Árbol?

Los diagramas en árbol son especialmente útiles para resolver problemas con experimentos compuestos, es decir, aquellos donde realizamos más de un experimento aleatorio.

3°-Menciona experimentos donde se pueda usar el diagrama de Árbol.

Algunos ejemplos de experimentos compuestos son: tirar dos monedas al aire, y mirar si salen dos caras, contar si hay dos mujeres de entre tres hijos, sacar dos bolas de una urna, y mirar si hay una roja y una azul.

4°-¿Cómo se construye un Diagrama de Árbol?

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

5°-¿Cuál es el principio que se usa en un Diagrama de Árbol?

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas)

6°-Menciona las características de un Diagrama de Árbol.

• Un diagrama de árbol parte de lo general y va hacia lo específico, es decir, la base es el problema y las ramificaciones son los niveles subsecuentes o causas.
• Un diagrama de árbol es útil en la construcción de agrupación, bien sean combinaciones, variaciones o permutaciones.

7°-¿Cómo crear un Diagrama de Árbol experimental?

En la construcción de un diagrama en árbol se comienza colocando una rama para cada una de las posibilidades y se acompaña de su respectiva probabilidad, estas ramas son conocidas como ramas de primera generación.

Al final de cada ramificación de primera generación, a la vez se constituye un nudo, del cual salen nuevas ramas, estas se conocen a modo de ramas de segunda generación

8°-¿Cómo se caracteriza un Diagrama de Árbol de decisión?
Un diagrama de árbol de decisión se caracteriza por no tener demasiados elementos, los elementos clave se llaman nodos y se representan con un círculo o un cuadrado, las ramas son líneas que conectan los nodos y otras ramas hasta alcanzar el resultado deseado.

9°-¿Que utilidad tiene esta herramienta para las empresas?
Las empresas utilizan este método en diferentes procesos y procedimientos, en virtud de que permiten identificar las acciones, tareas y decisiones que son necesarias para desarrollar soluciones y mejoras en el rendimiento y eficiencia de la misma.

10°-¿Qué utilidad tiene esta herramienta en la vida cotidiana?
En la vida misma se pueden aplicar los diagramas de árbol, como una herramienta a la hora de elegir, combinar o desechar algunas opciones que se nos presentan ante sucesos, eventualidades o problemas.